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多明戈
正文
2022-01-20 08:42:09 | 分类:默认分类 | 标签:
“高层建筑结构的稳定设计主要是控制在风荷载或水平地震作用下,重力荷载产生的二阶效应不致过大,以免引起结构的失稳、倒塌。结构的侧向刚度和重力荷载之比(简称刚重比)是影响重力 Δ 效应的主要参数。只要结构的刚重比满足下列规定,则在考虑结构弹性刚度折减50%的情况下,重力 Δ 效应仍可控制在20%之内,结构的稳定具有适宜的安全储备。若结构的刚重比进一步减小,则重力 Δ 效应将会呈非线性关系急剧增长,直至引起结构的整体失稳。”
上面这段文字实际上是《高层建筑混凝土结构技术规程JGJ 3-2010)》(以下简称《高规》)的5.4.4条的条文说明,上述的“下列规定”就是5.4.4条的条文内容:
1 剪力墙结构、框架-剪力墙结构、筒体结构应符合下式要求:
2 框架结构应符合下式要求:
以上两式中的 EJ 和 为等效抗侧刚度(更完整的定义可参看规范条文), 为每层的重力荷载, 和 分别为结构总高度和层高。一般认为剪力墙、框剪和筒体结构是整个结构发生失稳,而框架是局部楼层失稳,所以就有了上面的区别对待。前面提到的“ 刚重比 ”用符号表示就是  和  。
后来我又找到了以上条文的由来,为徐培福和肖从真两位前辈大师于2001年发表的论文 [1] ,文中推导了考虑P -Δ 效应和不考虑P -Δ 效应的侧移比(采用的是简化方法,有些情况下误差可能会比较大),并给出了侧移比随刚重比变化的曲线,进而有了“ Δ 效应增幅大于20%后,结构刚重比稍有降低,会导致 Δ 效应急剧增加,甚至引起结构失稳”的结论。
而我一直的困惑是
结构失稳到底是怎样的?能给人一个直观感受吗?
Δ 效应大点难道就会失稳吗?
如果本来一阶位移就很小呢,也会失稳吗?
看了两位前辈大师的论文,还是没有打消我心中的疑问,于是,我只好自己翻书琢磨,以下是我的琢磨所得。

在谈高层结构的稳定之前,我觉得有必要先回顾下结构稳定的一些基本概念。简支压杆通常被用来介绍稳定的基本概念,其临界荷载 cr 
上式是根据完全直杆发生微小侧移后存在平衡位形这个条件得到的,其推导过程在《材料力学》和《钢结构》教科书中一般都会给出,这里就不再详述了。
图1  简支压杆的变形
真实杆件都有初始缺陷(initial imperfections),也就是说,压杆不是完全直的。假定杆件的初始位形 
由杆件各截面的弯矩平衡可得如下控制方程:
上述微分方程的解为
柱中的侧向位移(包括初始位移)为
上式也可以改写成如下形式:
由上式得到的轴力-柱中侧向位移( δ )曲线如下图所示。
图2  弹性分析得到的 δ 曲线
由上图可知,轴力存在上界,即临界荷载 cr ;当轴力趋向于临界荷载时,水平位移会急剧增大。换个角度讲,如果轴力是按位移控制施加的(结构试验一般属于这类情况),那么压杆会承担着接近于 cr 的轴力一直变形下去。
实际情况真是这样的吗?当然不是!前面的公式是在结构完全弹性的前提下推导得到的, 真实结构不可能一直处于弹性状态,受力最大的位置总会达到材料强度,上述压杆是不可能维持着接近 cr 的轴力一直变形下去的 
所以, 要描绘出简支压杆的真实受力行为,必须引入材料强度 

我们假定材料是刚塑性的,则对于矩形截面,可以推导得到给定轴力 下的截面受弯承载力:
上式就是正截面承载力分析常用的 相关关系。式中, 为轴力为0时的受弯承载力, 为轴心受压承载力。对于刚塑性模型,柱中(弯矩最大处)会形成塑性铰,如下图所示。由弯矩平衡可得
图3  简支压杆的刚塑性分析模型
联立上面两式可以得到形成塑性铰后的 δ 关系:
把由弹性分析和刚塑性分析得到的 δ 曲线画在同一张图上,可以大致描绘出构件的全过程荷载-位移响应。下图曲线对应 cr = 0.5、 = 0.04 、 δ /200的情况。
图4  弹性分析和刚塑性分析得到的 δ   曲线与真实响应的关系
在构件初始屈服前,真实 δ 曲线与弹性分析得到的一致,屈服以后,真实曲线会偏离弹性分析得到的曲线,并逐步向刚塑性分析得到的曲线靠近。 塑性铰形成后,由于 Δ 效应,压杆的承载力会逐步降低 
以上公式推导在文献[2]中都能找到,并非我的原创。

前面谈了简支压杆的失稳,作用荷载只有轴力。高层结构的受力状况与其不同,它虽然也承担轴力作用(由重力荷载引起),但高层结构的轴力水平是被控制的,它不会直接导致结构失稳。我们更关心的是,在水平荷载作用下,由重力二阶效应( Δ 效应)导致的结构失稳。
为简化分析,我们用一根底部固接的悬臂杆来代表高层结构,轴力 和水平力 都作用在悬臂杆顶端,如下图所示。实际竖向荷载和水平荷载都是分布的,但采用集中荷载并不会影响我们对稳定问题的解释,只是推导得到的位移和内力结果会与荷载分布的情况相差一个系数。
图5  高层结构受力分析模型
在结构变形后的位形上建立平衡方程(即考虑二阶效应),可得弹性杆件(无分布荷载作用)位移响应的控制微分方程为
上式的推导过程可参看陈惠发先生的著作 [3] ,再结合底部固接悬臂杆的四个边界条件:
可得悬臂杆的侧移曲线方程为
对于底部固接的悬臂杆,临界轴力 cr 
由上式可得
也就是说, 轴力与临界轴力的比值 cr 为刚重比 EI Nh 的倒数再乘以0.4 
由侧移曲线方程可得结构的顶点位移为
上述位移为 考虑二阶效应的顶点位移 
不考虑二阶效应的顶点位移为
二阶位移Δ II 和一阶位移 Δ 的比值为
由上式可知, 二阶位移和一阶位移的比值 Δ II / Δ 只与轴力水平 cr (或刚重比 EI Nh )有关 。下图绘制了Δ II / Δ 和 cr 以及 Δ II /Δ 和刚重比 EI Nh 的关系曲线,两条曲线对应的 cr 的范围都是0.05~0.7(相应的 EI Nh 的范围是8~0.57)。
图6   Δ II / Δ cr 和 Δ II /Δ EI Nh 曲线
有意思的是,上面两条曲线的切线斜率变化幅度相差甚大。对于 Δ II /Δ cr 曲线, Δ II /Δ 会随着 cr 的增大而增大,但在图示 cr 范围(0.05~0.7)内, Δ II /Δ 并没有随着 cr 发生剧烈变化。相反,对于 Δ II /Δ IEI Nh 曲线,同样是对应 cr =0.05~0.7,我们确实能看到:当刚重比 EI Nh 小于某个值(比如2)后, Δ II /Δ 会随着刚重比 EI Nh 的减小而急剧增大,似乎印证了《高规》里说的“若结构的刚重比进一步减小,则重力 -Δ 效应将会呈非线性关系急剧增长,直至引起结构的整体失稳”。
产生上述两个互相矛盾的感受的原因是啥呢?我们前面说过, cr 是刚重比 EI Nh 的倒数再乘以0.4,那么,刚重比 EI Nh 也是 cr 的倒数再乘以0.4。 cr 从0.1变到0.4, EI Nh 从4变到了1,减小了3; cr 从0.4变到0.7, EI Nh 从1变到了0.57,减小了0.43。同样是 cr 增加了0.3,前一次 EI Nh 减小了3,后一次 EI Nh 只减小了0.43。所以, “ 当刚重比 EI Nh 小于某个值(比如2)后, Δ II /Δ 会随着刚重比 EI Nh 的减小而急剧增大”并不是因为 Δ II /Δ 本身在急剧增大,而是在这个范围内,增大轴力对刚重比数值的影响在急剧减小 
为了更直观地说明这个问题,我们只绘制 EI Nh = 0.57~1(对应 cr =0.7~0.4)时的 Δ II /Δ EI Nh 曲线,见下图。这回,我们并没有看到“ Δ II /Δ 随着刚重比 EI Nh 的减小而急剧增大”这个现象。
图7 EI Nh = 0.57~1(对应 cr =0.7~0.4)时的 Δ II /Δ EI Nh 曲线
当刚重比 EI Nh 为0.57时, Δ II /Δ 的比值为3.3,也就是说, 考虑二阶效应的顶点位移为不考虑时的3.3倍,这能说明结构有失稳的风险吗?我觉得不能,它只能说明:考虑二阶效应后,结构的抗侧刚度为不考虑时的0.3倍 
《高规》通过把 Δ 效应增幅(即, Δ II / Δ -1)控制在20%以内来保证结构不发生失稳。根据以上分析,我认为:在没有其他前提条件的情况下, Δ II /Δ -1>0.2并不能跟结构失稳相关联。要说清楚高层结构的失稳,必须涉及结构强度(承载力) 


我们沿用前面的底部固接悬臂杆,假定杆件底部出现塑性铰,受弯承载力为 u,如下图所示。
图8  底部形成塑性铰后的分析模型
由弯矩平衡可得
由上式可以得到形成塑性铰后,水平力 与顶点位移 Δ 之间的关系:
由上式可以看出, Δ 效应会降低结构的抗侧承载力 
前面我们已经得到了弹性阶段 与顶点位移 Δ 之间的关系:
把弹性分析和刚塑性分析得到的 - Δ 曲线画在同一张图上,可以大致描绘出结构的全过程荷载-位移响应。下图曲线对应 =0.04 cr 、 cr =0.4( EI Nh =1)的情况。如果结构一直保持弹性,水平力 会随着顶点位移 Δ的增大而一直线性增大,并不存在上界,这和前面的简支压杆是不同的,所以, 只要 cr <1,水平力作用下的弹性结构不会发生失稳 
图9  弹性分析和刚塑性分析得到的 - Δ 曲线与真实响应的关系
结构屈服以后,真实曲线会偏离弹性分析得到的曲线,在 Δ 效应的作用下, 会达到最大值(即抗侧承载力),然后逐步减小。
因此, 结构失稳是由于外荷载超过了结构抗侧承载力导致的,而《高规》只关注 Δ 效应对结构抗侧刚度的降低作用,并没有抓住问题的本质(斗胆下了这个结论,如有错误,请批评指正,huhs09) 
我们近似把弹性 - Δ 曲线和刚塑性分析 - Δ 曲线的交点作为结构的抗侧承载力(实际抗侧承载力会更低),由此得到的抗侧承载力 表达式为
由上式可知, 结构的抗侧承载力与不考虑 Δ 效应时的抗侧承载力 和 cr (或刚重比 EI Nh )有关。下图是 与 cr 、 与 EI Nh 的关系曲线。
图10   cr 和 EI Nh 曲线
可见, F u h / M u 会随着 N / N cr 的增大而减小,且两者近似呈线性关系。结构是否发生失稳,不但与 N / N cr (即刚重比)有关,还与结构本身的承载力 M u / h 和外荷载的大小有关 


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